4.8. ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÏÎËÎÆÅÍÈß ÃËÀÂÍÛÕ ÎÑÅÉ
Öåíòðîáåæíûé ìîìåíò èíåðöèè ñå÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî îñåé, èç êîòîðûõ õîòÿ áû îäíà åñòü îñü ñèììåòðèè, ðàâåí íóëþ. Äåéñòâèòåëüíî, êàæäîìó ýëåìåíòó ïëîùàäè
â ïðàâîé ïîëîâèíå ñèììåòðè÷íîãî ñå÷åíèÿ (ðèñ. 4.11) âñåãäà ñîîòâåòñòâóåò òàêîé æå ýëåìåíò â ëåâîé ïîëîâèíå. Îðäèíàòû öåíòðîâ òÿæåñòè ýòèõ äâóõ ýëåìåíòîâ îäèíàêîâû, à àáñöèññû ðàâíû ïî âåëè÷èíå, íî ïðîòèâîïîëîæíû ïî çíàêó. Ïîýòîìó èíòåãðàëû
ïî ïëîùàäè ëåâîé è ïðàâîé
÷àñòè ñå÷åíèÿ ïðîòèâîïîëîæíû ïî çíàêó, à èõ ñóììà, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé öåíòðîáåæíûé ìîìåíò èíåðöèè ñå÷åíèÿ, ðàâíà íóëþ.
Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè ñå÷åíèå èìååò õîòÿ áû îäíó îñü ñèììåòðèè, òî ýòà îñü ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç ãëàâíûõ öåíòðàëüíûõ îñåé èíåðöèè. Ëþáàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ê íåé îñü òàêæå ÿâëÿåòñÿ ãëàâíîé, à ïðîõîäÿùàÿ, êðîìå òîãî, ÷åðåç öåíòð òÿæåñòè — âòîðîé ãëàâíîé öåíòðàëüíîé îñüþ èíåðöèè. Ïîýòîìó ïðè îïðåäåëåíèè ïîëîæåíèÿ ãëàâíûõ îñåé íàäî ïðåæäå âñåãî îáðàùàòü âíèìàíèå íà íàëè÷èå îñåé ñèììåòðèè.
Åñëè ñå÷åíèå íå èìååò îñåé ñèììåòðèè, òî ñíà÷àëà âûáèðàåòñÿ
ðàöèîíàëüíàÿ ñèñòåìà îñåé êîîðäèíàò, çàòåì âû÷èñëÿþòñÿ ìîìåíòû èíåðöèè
îòíîñèòåëüíî ýòèõ îñåé è äàëåå ïî ôîðìóëå (4.26) îïðåäåëÿåòñÿ óãîë à, íà êîòîðûé íóæíî ïîâåðíóòü èñõîäíûå îñè, ÷òîáû îíè ñòàëè ãëàâíûìè. Ïðè ïîëîæèòåëüíîì
îñè ó è
íàäî ïîâîðà÷èâàòü íà óãîë à ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, à ïðè îòðèöàòåëüíîì — ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå.
Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ îïðåäåëåíèÿ ãëàâíûõ öåíòðàëüíûõ îñåé èíåðöèè è ãëàâíûõ ìîìåíòîâ èíåðöèè ñå÷åíèé.
Ïðèìåð. Îïðåäåëèòü ãëàâíûå öåíòðàëüíûå îñè è ãëàâíûå ìîìåíòû èíåðöèè äëÿ ñå÷åíèÿ, ïðåäñòàâëåííîãî íà ðèñ. 4.12.
Ðåøåíèå. Ñå÷åíèå èìååò äâå îñè ñèììåòðèè
Ñëåäîâàòåëüíî, ýòè îñè ÿâëÿþòñÿ èñêîìûìè ãëàâíûìè öåíòðàëüíûìè îñÿìè èíåðöèè ñå÷åíèÿ. Äîïîëííì ñå÷åíèå äî ïîëíîãî êâàäðàòà è îïðåäåëèì
âû÷èòàíèåì èç ìîìåíòà èíåðöèè êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé 4 ñì ìîìåíòîâ èíåðöèè êâàäðàòîâ ñî ñòîðîíîé 1 ñì. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïî äîêàçàííîìó âûøå ìîìåíòû èíåðöèè êâàäðàòîâ îòíîñèòåëüíî âñåõ öåíòðàëüíûõ îñåé îäèíàêîâû,
Ðèñ. 4.11
Ðèñ. 4.12
Ðèñ. 4.13
Ðèñ. 4.14
Ïðè âû÷èñëåíèè
íåîáõîäèìî ïðèìåíèòü ôîðìóëó (4.12)
Èòàê,
Çàìåòèì, ÷òî îñüþ ìàêñèìàëüíîãî ãëàâíîãî Ìîìåíòà èíåðöèè âñåãäà áóäåò òà, îò êîòîðîé áîëåå óäàëåíû ýëåìåíòû ïëîùàäè ñå÷åíèÿ.
Ïðèìåð. Îïðåäåëèòü ìîìåíòû èíåðöèè îòíîñèòåëüíî ãëàâíûõ íåéòðàëüíûõ îñåé èíåðöèè (ðèñ. 4.13).
Ðåøåíèå. Ñîâìåñòèì îñè
è ó ñ ãîðèçîíòàëüíûì è âåðòèêàëüíûì ó÷àñòêàìè ñðåäíåé ëèíèè óãîëêà è îïðåäåëèì ïîëîæåíèå åãî öåíòðà òÿæåñòè:
Ïðîâåäåì ÷åðåç öåíòð òÿæåñòè îñè
è âû÷èñëèì ìîìåíòû èíåðöèè óãîëêà îòíîñèòåëüíî ýòèõ îñåé. Ðàçáèâàÿ óãîëîê íà äâà ïðÿìîóãîëüíèêà, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 4.13, ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (4.12) ïîëó÷àåì:
Îïðåäåëèì ïî ôîðìóëå (4.27) óãîë à, íà êîòîðûé íàäî ïîâåðíóòü öåíòðàëüíûå îñè
÷òîáû îíè ñîâïàëè ñ ãëàâíûìè öåíòðàëüíûìè îñÿìè èíåðöèè óãîëêà;
Êàê âèäíî èç ðèñ. 4.13, ïðè ïîâîðîòå íà óãîë
îñü
ñîâïàäàåò ñ ïåðâîé, à îñü
âòîðîé ãëàâíîé öåíòðàëüíîé îñüþ èíåðöèè óãîëêà (ýëåìåíòû äàííîé ôèãóðû ðàñïîëîæåíû áëèæå ê îñè
÷åì ê îñè 1).
Ãëàâíûå ìîìåíòû èíåðöèè è
âû÷èñëèì ïî ôîðìóëå (4.28);
Ñëåäîâàòåëüíî,
Ïðèìåð. Îïðåäåëèòü ãëàâíûå ìîìåíòû èíåðöèè òîíêîñòåííîãî ïðîôèëÿ ïî» ñòîÿííîé òîëùèíû
ïðåäñòàâëåííîãî íà ðèñ. 4.14.
Ðåøåíèå. Ïðîâåäåì îñè
è ó, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 4.14, è îïðåäåëèì ïîëîæåíèå öåíòðà òÿæåñòè ïðîôèëÿ
ãäå ïëîùàäè è ñòàòè÷åñêèå ìîìåíòû ïîëóêîëüöà, âåðòèêàëüíîãî è, ãîðèçîíòàëüíîãî ïðÿìîóãîëüíèêîâ
Ñëåäîâàòåëüíî,
Îïðåäåëèì ìîìåíòû èíåðöèè îòíîñèòåëüíî ãëàâíûõ öåíòðàëüíûõ îñåé èíåðöèè
Ïðè âû÷èñëåíèè
ïîñòóïèì òàê. Ñíà÷àëà îïðåäåëèì ìîìåíò èíåðöèè âñåãî ñå÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî îñè
à çàòåì ïî ôîðìóëàì (4.12) ïåðåéäåì ê öåíòðàëüíîé îñè
Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû ðàçä. 4.4, ïîëó÷èì
Ïåðâîå ñëàãàåìîå â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ, ìîìåíò èíåðöèè ãîðèçîíòàëüíîãî ýëåìåíòà îòíîñèòåëüíî åãî ñîáñòâåííîé öåíòðàëüíîé îñè — âåñüìà ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñî âñåìè îñòàëüíûìè ñëàãàåìûìè, òàê êàê ñîäåðæèò ìàëóþ âåëè÷èíó
â òðåòüåé ñòåïåíè.
Òàêèìè ñëàãàåìûìè ïðè ðàñ÷åòå òîíêîñòåííûõ ñå÷åíèé îáû÷íî ïðåíåáðåãàþò, Ïîýòîìó
Ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè