Ãëàâíàÿ > Ðàçíîå > Êðàòêèé êóðñ ñîïðîòèâëåíèÿ ìàòåðèàëîâ
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô
Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Ìàêåòû ñòðàíèö

4.8. ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÏÎËÎÆÅÍÈß ÃËÀÂÍÛÕ ÎÑÅÉ

Öåíòðîáåæíûé ìîìåíò èíåðöèè ñå÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî îñåé, èç êîòîðûõ õîòÿ áû îäíà åñòü îñü ñèììåòðèè, ðàâåí íóëþ. Äåéñòâèòåëüíî, êàæäîìó ýëåìåíòó ïëîùàäè â ïðàâîé ïîëîâèíå ñèììåòðè÷íîãî ñå÷åíèÿ (ðèñ. 4.11) âñåãäà ñîîòâåòñòâóåò òàêîé æå ýëåìåíò â ëåâîé ïîëîâèíå. Îðäèíàòû öåíòðîâ òÿæåñòè ýòèõ äâóõ ýëåìåíòîâ îäèíàêîâû, à àáñöèññû ðàâíû ïî âåëè÷èíå, íî ïðîòèâîïîëîæíû ïî çíàêó. Ïîýòîìó èíòåãðàëû ïî ïëîùàäè ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòè ñå÷åíèÿ ïðîòèâîïîëîæíû ïî çíàêó, à èõ ñóììà, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé öåíòðîáåæíûé ìîìåíò èíåðöèè ñå÷åíèÿ, ðàâíà íóëþ.

Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè ñå÷åíèå èìååò õîòÿ áû îäíó îñü ñèììåòðèè, òî ýòà îñü ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç ãëàâíûõ öåíòðàëüíûõ îñåé èíåðöèè. Ëþáàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ê íåé îñü òàêæå ÿâëÿåòñÿ ãëàâíîé, à ïðîõîäÿùàÿ, êðîìå òîãî, ÷åðåç öåíòð òÿæåñòè — âòîðîé ãëàâíîé öåíòðàëüíîé îñüþ èíåðöèè. Ïîýòîìó ïðè îïðåäåëåíèè ïîëîæåíèÿ ãëàâíûõ îñåé íàäî ïðåæäå âñåãî îáðàùàòü âíèìàíèå íà íàëè÷èå îñåé ñèììåòðèè.

Åñëè ñå÷åíèå íå èìååò îñåé ñèììåòðèè, òî ñíà÷àëà âûáèðàåòñÿ ðàöèîíàëüíàÿ ñèñòåìà îñåé êîîðäèíàò, çàòåì âû÷èñëÿþòñÿ ìîìåíòû èíåðöèè îòíîñèòåëüíî ýòèõ îñåé è äàëåå ïî ôîðìóëå (4.26) îïðåäåëÿåòñÿ óãîë à, íà êîòîðûé íóæíî ïîâåðíóòü èñõîäíûå îñè, ÷òîáû îíè ñòàëè ãëàâíûìè. Ïðè ïîëîæèòåëüíîì îñè ó è íàäî ïîâîðà÷èâàòü íà óãîë à ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, à ïðè îòðèöàòåëüíîì — ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå.

Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ îïðåäåëåíèÿ ãëàâíûõ öåíòðàëüíûõ îñåé èíåðöèè è ãëàâíûõ ìîìåíòîâ èíåðöèè ñå÷åíèé.

Ïðèìåð. Îïðåäåëèòü ãëàâíûå öåíòðàëüíûå îñè è ãëàâíûå ìîìåíòû èíåðöèè äëÿ ñå÷åíèÿ, ïðåäñòàâëåííîãî íà ðèñ. 4.12.

Ðåøåíèå. Ñå÷åíèå èìååò äâå îñè ñèììåòðèè Ñëåäîâàòåëüíî, ýòè îñè ÿâëÿþòñÿ èñêîìûìè ãëàâíûìè öåíòðàëüíûìè îñÿìè èíåðöèè ñå÷åíèÿ. Äîïîëííì ñå÷åíèå äî ïîëíîãî êâàäðàòà è îïðåäåëèì âû÷èòàíèåì èç ìîìåíòà èíåðöèè êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé 4 ñì ìîìåíòîâ èíåðöèè êâàäðàòîâ ñî ñòîðîíîé 1 ñì. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïî äîêàçàííîìó âûøå ìîìåíòû èíåðöèè êâàäðàòîâ îòíîñèòåëüíî âñåõ öåíòðàëüíûõ îñåé îäèíàêîâû,

Ðèñ. 4.11

Ðèñ. 4.12

Ðèñ. 4.13

Ðèñ. 4.14

Ïðè âû÷èñëåíèè íåîáõîäèìî ïðèìåíèòü ôîðìóëó (4.12)

Èòàê, Çàìåòèì, ÷òî îñüþ ìàêñèìàëüíîãî ãëàâíîãî Ìîìåíòà èíåðöèè âñåãäà áóäåò òà, îò êîòîðîé áîëåå óäàëåíû ýëåìåíòû ïëîùàäè ñå÷åíèÿ.

Ïðèìåð. Îïðåäåëèòü ìîìåíòû èíåðöèè îòíîñèòåëüíî ãëàâíûõ íåéòðàëüíûõ îñåé èíåðöèè (ðèñ. 4.13).

Ðåøåíèå. Ñîâìåñòèì îñè è ó ñ ãîðèçîíòàëüíûì è âåðòèêàëüíûì ó÷àñòêàìè ñðåäíåé ëèíèè óãîëêà è îïðåäåëèì ïîëîæåíèå åãî öåíòðà òÿæåñòè:

Ïðîâåäåì ÷åðåç öåíòð òÿæåñòè îñè è âû÷èñëèì ìîìåíòû èíåðöèè óãîëêà îòíîñèòåëüíî ýòèõ îñåé. Ðàçáèâàÿ óãîëîê íà äâà ïðÿìîóãîëüíèêà, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 4.13, ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (4.12) ïîëó÷àåì:

Îïðåäåëèì ïî ôîðìóëå (4.27) óãîë à, íà êîòîðûé íàäî ïîâåðíóòü öåíòðàëüíûå îñè ÷òîáû îíè ñîâïàëè ñ ãëàâíûìè öåíòðàëüíûìè îñÿìè èíåðöèè óãîëêà;

Êàê âèäíî èç ðèñ. 4.13, ïðè ïîâîðîòå íà óãîë îñü ñîâïàäàåò ñ ïåðâîé, à îñü âòîðîé ãëàâíîé öåíòðàëüíîé îñüþ èíåðöèè óãîëêà (ýëåìåíòû äàííîé ôèãóðû ðàñïîëîæåíû áëèæå ê îñè ÷åì ê îñè 1).

Ãëàâíûå ìîìåíòû èíåðöèè è âû÷èñëèì ïî ôîðìóëå (4.28);

Ñëåäîâàòåëüíî,

Ïðèìåð. Îïðåäåëèòü ãëàâíûå ìîìåíòû èíåðöèè òîíêîñòåííîãî ïðîôèëÿ ïî» ñòîÿííîé òîëùèíû ïðåäñòàâëåííîãî íà ðèñ. 4.14.

Ðåøåíèå. Ïðîâåäåì îñè è ó, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 4.14, è îïðåäåëèì ïîëîæåíèå öåíòðà òÿæåñòè ïðîôèëÿ

ãäå ïëîùàäè è ñòàòè÷åñêèå ìîìåíòû ïîëóêîëüöà, âåðòèêàëüíîãî è, ãîðèçîíòàëüíîãî ïðÿìîóãîëüíèêîâ

Ñëåäîâàòåëüíî,

Îïðåäåëèì ìîìåíòû èíåðöèè îòíîñèòåëüíî ãëàâíûõ öåíòðàëüíûõ îñåé èíåðöèè

Ïðè âû÷èñëåíèè ïîñòóïèì òàê. Ñíà÷àëà îïðåäåëèì ìîìåíò èíåðöèè âñåãî ñå÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî îñè à çàòåì ïî ôîðìóëàì (4.12) ïåðåéäåì ê öåíòðàëüíîé îñè Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû ðàçä. 4.4, ïîëó÷èì

Ïåðâîå ñëàãàåìîå â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ, ìîìåíò èíåðöèè ãîðèçîíòàëüíîãî ýëåìåíòà îòíîñèòåëüíî åãî ñîáñòâåííîé öåíòðàëüíîé îñè — âåñüìà ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñî âñåìè îñòàëüíûìè ñëàãàåìûìè, òàê êàê ñîäåðæèò ìàëóþ âåëè÷èíó â òðåòüåé ñòåïåíè.

Òàêèìè ñëàãàåìûìè ïðè ðàñ÷åòå òîíêîñòåííûõ ñå÷åíèé îáû÷íî ïðåíåáðåãàþò, Ïîýòîìó

Ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè

<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Îãëàâëåíèå