5.2. ÍÀÏÐ߯ÅÍÈß È ÄÅÔÎÐÌÀÖÈÈ ÏÐÈ ÊÐÓ×ÅÍÈÈ ÖÈËÈÍÄÐÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÁÐÓÑÀ ÊÐÓÃËÎÃÎ ÑÅ×ÅÍÈß
Îïðåäåëèì íàïðÿæåíèÿ è äåôîðìàöèè ïðè êðó÷åíèè öèëèíäðè÷åñêîãî áðóñà êðóãëîãî ñå÷åíèÿ ïàðàìè ñèë, äåéñòâóþùèìè â ïëîñêîñòÿõ åãî òîðöåâûõ ñå÷åíèé (ðèñ. 5.2).
Îòìåòèì ñðàçó, ÷òî ïîñòàâëåííàÿ çàäà÷à ïðè êðó÷åíèè ðåøàåòñÿ òàê æå, êàê è àíàëîãè÷íàÿ çàäà÷à ïðè öåíòðàëüíîì ðàñòÿæåíèè (ñì. ðàçä. 2.4). Áîëåå òîãî, ñðàâíèâàÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ îïðåäåëåíèÿ íàïðÿæåíèé ïðè ðàçëè÷íûõ âèäàõ äåôîðìàöèé (ðàñòÿæåíèè, êðó÷åíèè, ïîïåðå÷íîì èçãèáå è ò.
íåòðóäíî óñòàíîâèòü îáùíîñòü ìåòîäà ðåøåíèé. Óÿñíåíèå ýòîãî îáñòîÿòåëüñòâà ó÷àùèìèñÿ ìîæåò çíà÷èòåëüíî îáëåã÷èòü èì èçó÷åíèå êóðñà ñîïðîòèâëåíèÿ ìàòåðèàëîâ.
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðåøåíèÿ óæå èçëîæåíà â ðàçä. 2.4. Ñíà÷àëà ìåòîäîì ñå÷åíèé íàõîäèòñÿ çàâèñèìîñòü ìåæäó âíåøíèìè íàãðóçêàìè è âíóòðåííèìè ñèëîâûìè ôàêòîðàìè â ñå÷åíèÿõ áðóñà. Ïðè êðó÷åíèè òàêèì ôàêòîðîì ÿâëÿåòñÿ êðóòÿùèé ìîìåíò
Êðóòÿùèé ìîìåíò, ÷èñëåííîå çíà÷åíèå êîòîðîãî íàõîäèòñÿ èç óðàâíåíèÿ (5.1), ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó ìîìåíòîâ âñåõ âíóòðåííèõ êàñàòåëüíûõ ñèë óïðóãîñòè â ñå÷åíèè áðóñà (ñì. ðàçä. 1.11):
èëè â áîëåå êðàòêîé çàïèñè
ãäå
— ïëå÷î ýëåìåíòàðíîé êàñàòåëüíîé ñèëû
— ïîëíîå êàñàòåëüíîå íàïðÿæåíèå â òî÷êå ñå÷åíèÿ.
Óðàâíåíèå (5.2) ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü íàïðÿæåíèÿ
åñëè èçâåñòåí çàêîí èõ ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ñå÷åíèþ. Òðóäíîñòè, âîçíèêàþùèå ïðè àíàëèòè÷åñì îïðåäåëåíèè ýòîãî çàêîíà, çàñòàâëÿþò îáðàòèòüñÿ ê ýêñïåðèìåíòàëüíîìó èññëåäîâàíèþ äåôîðìàöèé áðóñà.
Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîñëå çàêðó÷èâàíèÿ áðóñà êðóãëîãî ñå÷åíèÿ ïîïåðå÷íûå ëèíèè, íàíåñåííûå íà åãî ïîâåðõíîñòü, îñòàþòñÿ ïëîñêèìè, à äèàìåòðû ñå÷åíèé è ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè íå èçìåíÿþòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî íîðìàëüíûå íàïðÿæåíèÿ â ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèÿõ òàêîãî áðóñà îòñóòñòâóþò
Ðèñ. 5.2
Ðèñ. 5.3.
(èíà÷å èçìåðÿëèñü áû ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ñå÷åíèÿìè), à ñàìè ñå÷åíèÿ ïîâîðà÷èâàþòñÿ âîêðóã îñè áðóñà êàê æåñòêèå äèñêè. Ïîñëåäíåå ïðåäïîëîæåíèå ðàâíîñèëüíî ââåäåíèþ ñðàçó äâóõ ãèïîòåç — ãèïîòåçû ïëîñêèõ ñå÷åíèé è ãèïîòåçû î íåäåôîðìèðóåìîñòè (ïðÿìîëèíåéíîñòè) ðàäèóñîâ ñå÷åíèé.
×òîáû êðóãëîå ñå÷åíèå íå äåôîðìèðîâàëîñü â ñâîåé ïëîñêîñòè è íå èìåëî ïîñòóïàòåëüíûõ ïåðåìåùåíèé, à òîëüêî ïîâîðà÷èâàëîñü âîêðóã ñâîåãî öåíòðà, êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ âî âñåõ åãî òî÷êàõ, ðàâíîóäàëåííûõ îò ýòîãî öåíòðà, äîëæíû áûòü ðàâíû ïî âåëè÷èíå è íàïðàâëåíû ïî íîðìàëÿì ê ðàäèóñ-âåêòîðàì ýòèõ òî÷åê.
Âûðåæåì äâóìÿ ïîïåðå÷íûìè ñå÷åíèÿìè ýëåìåíò áðóñà (ðèñ. 5.3).  ðåçóëüòàòå íàãðóæåíèÿ áðóñà âåðõíåå ñå÷åíèå ýëåìåíòà ïîâåðíåòñÿ îòíîñèòåëüíî íèæíåãî íà óãîë
Ïðè ýòîì âûäåëåííàÿ â âåðõíåì ñå÷åíèè áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ïëîùàäêà ñäâèíåòñÿ îòíîñèòåëüíî ñîîòâåòñòâóþùåé åé íèæíåé ïëîùàäêè (ðèñ. 5.3) íà óãîë ó. Ïî ãðàíÿì ïðîäîëüíîãî ýëåìåíòà, îãðàíè÷åííîãî óêàçàííûìè ïëîùàäêàìè, äåéñòâóþò òîëüêî êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ýòîò ýëåìåíò èñïûòûâàåò ÷èñòûé ñäâèã, à ó — óãîë ñäâèãà. Ñîãëàñíî ðèñ. 5.3
Ïåðåõîäÿ ïî çàêîíó Ãóêà
ê íàïðÿæåíèÿì, ïîëó÷àåì
×àñòíîå îò äåëåíèÿ àáñîëþòíîãî óãëà çàêðó÷èâàíèÿ
ýëåìåíòà áðóñà íà äëèíó ýòîãî ýëåìåíòà
íàçûâàåòñÿ îòíîñèòåëüíûì óãëîì çàêðó÷èâàíèÿ è îáîçíà÷àåòñÿ áóêâîé
Òîãäà
Ðèñ. 5.4
Òàêèì îáðàçîì, êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ â öåíòðå ñå÷åíèÿ ðàâíû íóëþ, ðàñòóò ê ïåðèôåðèè ñå÷åíèÿ ïî ëèíåéíîìó çàêîíó è íàïðàâëåíû, êàê óêàçûâàëîñü âûøå, íîðìàëüíî ê ðàäèóñó ñå÷åíèÿ (ðèñ. 5.4).
Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ íàïðÿæåíèé (5.5) â ðàâåíñòâî (5.2), ïîëó÷àåì
ãäå
— ïîëÿðíûé ìîìåíò èíåðöèè êðóãëîãî ñå÷åíèÿ. Îòñþäà íàõîäèì ðàñ÷åòíîå óðàâíåíèå äëÿ îòíîñèòåëüíîãî óãëà çàêðó÷èâàíèÿ áðóñà
à çàòåì, èñêëþ÷àÿ
èç ðàâåíñòâà (5.5), ïîëó÷àåì ôîðìóëó äëÿ íàïðÿæåíèé ïðè êðó÷åíèè áðóñà êðóãëîãî ñå÷åíèÿ
Íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèÿ äîñòèãàþò â êîíòóðíûõ òî÷êàõ ñå÷åíèÿ ïðè
ãäå
— ðàäèóñ ñå÷åíèÿ:
èëè
Âåëè÷èíó
ïðåäñòàâëÿþùóþ ñîáîé îòíîøåíèå ïîëÿðíîãî ìîìåíòà èíåðöèè ñå÷åíèÿ ê åãî íàèáîëüøåìó ðàäèóñó
íàçûâàþò ìîìåíòîì ñîïðîòèâëåíèÿ êðó÷åíèþ. Åãî ðàçìåðíîñòü
Äëÿ êðóãëîãî ñå÷åíèÿ
Ïðîèçâåäåíèå
íàçûâàåòñÿ æåñòêîñòüþ ïðè êðó÷åíèè;
— ãåîìåòðè÷åñêàÿ õàðàêòåðèñòèêà æåñòêîñòè ñå÷åíèÿ, à ìîäóëü ñäâèãà
— õàðàêòåðèñòèêà æåñòêîñòè ìàòåðèàëà.
Óãîë çàêðó÷èâàíèÿ ýëåìåíòà áðóñà äëèíîé
ñîãëàñíî ôîðìóëàì (5.4) è (5.7)
Óãîë çàêðó÷èâàíèÿ âñåãî áðóñà
Ðèñ. 5.5
Åñëè áðóñ èìååò íåñêîëüêî ó÷àñòêîâ ñ ðàçëè÷íûìè àíàëèòè÷åñêèìè âûðàæåíèÿìè äëÿ
èëè ðàçëè÷íûìè çíà÷åíèÿìè
òî
Ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ â êîíêðåòíûõ çàäà÷àõ ïðîñòàâëÿþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ çàðàíåå âûáðàííûì íà÷àëîì îòñ÷åòà êîîðäèíàòû õ.
 ÷àñòíîì ñëó÷àå ïðè
ò. å. òîëüêî äëÿ áðóñà ïîñòîÿííîãî ñå÷åíèÿ, íàãðóæåííîãî íî êîíöàì ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìè,
Ïîëó÷åííûå â ýòîì ðàçäåëå óðàâíåíèÿ ñïðàâåäëèâû òàêæå è äëÿ áðóñà êîëüöåâîãî ñå÷åíèÿ ñ íàðóæíûì äèàìåòðîì
è âíóòðåííèì
Òîëüêî â ýòîì ñëó÷àå
è
íàäî âû÷èñëÿòü ïî ôîðìóëàì
Ýïþðà êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé â ñå÷åíèè ïîëîãî áðóñà ïðèâåäåíà íà ðèñ. 5.5.
Ñðàâíåíèå ýïþð êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé â ñïëîøíîì è ïîëîì áðóñå óêàçûâàåò íà ïðåèìóùåñòâà ïîëûõ âàëîâ, — òàê êàê â òàêèõ âàëàõ âûáðàí ìàòåðèàë â îáëàñòè äåéñòâèÿ ìàëûõ íàïðÿæåíèé.  ðåçóëüòàòå ðàñïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèé ïî ñå÷åíèþ ñòàíîâèòñÿ áîëåå ðàâíîìåðíûì, à ñàì áðóñ áîëåå ëåãêèì, ÷åì ðàâíîïðî÷íûé åìó áðóñ ñïëîøíîãî ñå÷åíèÿ, íåñìîòðÿ íà íåêîòîðîå óâåëè÷åíèå íàðóæíîãî äèàìåòðà.
Ïîëåçíî îòìåòèòü ïîëíîå ñîâïàäåíèå ñòðóêòóðû ðàñ÷åòíûõ óðàâíåíèé äëÿ àíàëîãè÷íûõ ôàêòîðîâ ïðè ðàñòÿæåíèè è êðó÷åíèè.
Ïðè ðàñòÿæåíèè Ïðè êðó÷åíèè